역학 Study Ⅰ

2019년 12월 30일

<운동학>

1. 포물체가 속력 [eqn: v _{0}]으로 발사된다. 최대 이동 거리가 되도록 발사할 때 지면으로부터 높이 [eqn: h]인 위치 간의 수평 거리가 [eqn: d`=`{v _{0} }over{g}`sqrt{v _{0} ^{2} `-`4`gh}]임을 보이시오

2. 각도 [eqn: phi]로 기울어진 평평한 언덕 밑에서 언덕을 따라 속력 [eqn: v _{0}], 수평면 대비 경사가 [eqn: alpha]로 물체를 던진다. (단, [eqn: alpha`>`phi])

(ㄱ) 물체가 경사를 따라 이동한 거리를 구하시오.

(ㄴ) 물체가 언덕 면에 닿을 때까지 걸린 시간을 구하시오.

(ㄷ) 이동 거리가 최대가 되는 발사각을 구하시오.

(ㄹ) 최대 이동 거리가 [eqn: {v _{0} ^{2} }over{g`(1+sin`phi)}]임을 보이시오.

3. 포탄을 [eqn: v _{0}]의 속력으로 쏠 수 있는 대포가 지면보다 [eqn: h] 높은 위치에 있다.

(ㄱ) 포탄이 지면에 가장 먼 거리까지 날아갈 때 발사각 [eqn: alpha]는 [eqn: cosec ^{2} `alpha`=`2`left(`1+{gh}over{v _{0} ^{2} }`right)]를 보이시오.

(ㄴ) 최대 거리를 구하시오.

4. 반지름 [eqn: R]인 매끄러운 구면의 중심을 지나는 수평면으로부터 높이 [eqn: {R}over{2}]인 곳에 입자가 놓여있다. 입자를 가만히 놓으면 입자는 구면을 따라 미끄러지다가 구면을 벗어난다. 입자가 구면을 벗어나는 각도를 구하시오.

5. 굴러가는 바퀴 둘레에서 진흙이 튀고 있다. 바퀴의 병진 속도를 [eqn: v _{0}], 반지름을 [eqn: b]라 할 때 진흙이 올라가는 최대 높이는 [eqn: b+{v _{0} ^{2} }over{2g}`+`{g`b ^{2} }over{2`v _{0} ^{2} }]이다. 진흙이 바퀴를 떠나는 위치를 구하시오. (단 [eqn: v _{0} ^{2} `geq`b`g]).

<라그랑지 역학>

6. 질량이 [eqn: M]인 두 물체가 길이 [eqn: l], 질량 [eqn: m]인 균일한 줄 끝에 매달려 있다. 한 물체는 매끄러운 수평 탁자에 놓여 있고 다른 물체는 질량 가속도 [eqn: g]인 균일한 중력장에 수직으로 매달려 있다. 시간 [eqn: t=0]일 때 탁자에 놓여 있는 물체의 위치는 [eqn: x=0], 수직으로 매달려 있는 물체의 위치는 [eqn: x=l]이다.

(ㄱ) 계의 라그랑지안을 [eqn: x]와 [eqn: dot{x}]로 구하시오.

(ㄴ) 계의 낙하 가속도를 구하시오.

7. 질량이 각각 [eqn: m _{1}], [eqn: m _{2}]인 물체와 길이 [eqn: l]인 가벼운 끈으로 이루어진 한 Atwood 기계와 질량이 각각 [eqn: m _{3}], [eqn: m _{4}]인 물체와 길이 [eqn: L]인 가벼운 끈으로 이루어진 다른 Atwood 기계가 도르래 위를 지나는 길이 [eqn: D]인 가벼운 끈으로 연결된 복합 Atwood 기계가 있다.

(ㄱ) 3개의 독립적인 좌표를 도입하여 계의 라그랑지안을 쓰시오.

(ㄴ) [eqn: m _{1} =m], [eqn: m _{2} =4m], [eqn: m _{3} =2m], [eqn: m _{4} =m]일 때 각 물체의 가속도를 구하시오.

8. 질량 [eqn: m]인 입자가 매끄러운 수평면 위에서 자유롭게 움직이는 경사면에서 마찰 없이 미끄러지고 있다. 경사면의 각도는 [eqn: theta]이고 질량은 [eqn: M]이다.

(ㄱ) 계의 라그랑지안을 구하시오.

(ㄴ) 수평면에서 경사면의 가속도를 구하시오.

9. 매달린 물체의 질량이 [eqn: m]인 단진자의 한 끝이 가속도 [eqn: a]로 수직 상승한다.

(ㄱ) 계의 라그랑지안을 구하시오.

(ㄴ) 미소 진폭 진동일 때 주기를 구하시오.

10. 반지름 [eqn: a]인 매끈한 구의 꼭대기에 질량 [eqn: m]인 입자가 놓여 있다. 입자를 살짝 건드리면 입자는 구면을 마찰 없이 미끄러지다 어느 순간 구면을 떠난다.

(ㄱ) 입자가 구면에서 미끄러지는 동안의 라그랑지안을 구면 좌표 [eqn: r], [eqn: theta] (수직에 대해 기울어진 각도)와 라그랑지 곱수 [eqn: lambda]를 이용하여 쓰시오.

(ㄴ) 입자가 구면 위에서 각도가 [eqn: theta]인 위치에 있을 때 수직 항력을 구하시오.

(ㄷ) 입자가 구면을 떠나는 각도를 구하시오.

11. 반지름 [eqn: r]인 균일한 원판이 반지름 [eqn: R]인 원통의 아래 반원 면에서 미끄러짐 없이 구른다.

(ㄱ) 원통의 중심에서 아래로 내린 수직선과 원판의 중심이 이루는 각을 [eqn: phi]라 할 때 [eqn: phi]를 이용하여 계의 라그랑지안을 구하시오.

(ㄴ) 구속 조건 방정식을 구하시오.

(ㄷ) 미소 진폭 진동의 주기를 구하시오.

12. 질량 [eqn: m]인 입자가 원점을 향하고 크기 [eqn: f(r)`=`-A`r ^{alpha-1}] ([eqn: A], [eqn: alpha`>0])인 힘을 받으며 한 평면에서 운동한다.

(ㄱ) 극좌표 [eqn: r], [eqn: theta]를 이용하여 라그랑지안을 구하시오. (단, 원점에서 위치에너지는 0)

(ㄴ) 각 좌표에 대한 라그랑지 방정식을 구하시오.

13. 줄의 길이 [eqn: b], 추의 질량 [eqn: m]인 단진자가 두 개가 연결되어 진동한다. 천정에 고정되어 진동하는 진자의 수직에 대한 각을 [eqn: theta _{1}], 위의 추에 매달려 진동하는 진자의 수직에 대한 각을 [eqn: theta _{2}]라 한다.

(ㄱ) 계의 라그랑지안을 구하시오.

(ㄴ) 각 일반화 좌표의 라그랑지 방정식을 구하시오.

14. 질량 [eqn: m]인 입자가 매끄러운 평면에 놓여 있다. 평면은 [eqn: t`=0]인 순간 수평으로 있다가 일정한 각속도 [eqn: alpha]([eqn: >0])로 회전한다.

(ㄱ) 평면이 수평에 대해 기울어진 각도가 [eqn: theta]([eqn: =alpha`t])일 때 입자의 라그랑지안을 구하시오.

(ㄴ) 시간 [eqn: t=0]일 때 입자의 위치 [eqn: x=0], 속도 [eqn: dot{x}=0]일 때 [eqn: x(t)]를 구하시오. (단, [eqn: x]는 평면에서 측정한 입자의 위치)