6. 프리즘의 최소편각 측정

(1) 실험목적

프리즘과 분광계(Prism Spectrometer)의 원리를 이해하고, 이를 사용하여 프리즘의 정각과 최소 편각(Minimum Deviation)을 측정하여 프리즘의 굴절률을 산출한다.

(2) 기초원리

그림1과 같이 프리즘 ABC를 통과한 단색광이 [eqn: LMM```'``T]라 하고 이들이 [eqn: AB], [eqn: AC]양면의 법선과 이루는 각을 각각[eqn: i,````r,````r`` prime ``,``i`` prime] 이라 하면, 이때의 입사광선과 굴절광선이 이루는 편각 δ는

[eqn: delta ````=````(i``-``r)``+``(i'``-``r)]          (1)

그림1. 프리즘에 의한 빛의 굴절

로 표현된다. 또한, 삼각형[eqn: M`M```'``N]에서 [eqn: gamma ``+`` gamma ``'``+`` beta ``=``180 DEG], 사각형 [eqn: AMNM``'`]에서 [eqn: ANGLE M]과 [eqn: ANGLE M``'`]가 직각이므로 [eqn: alpha ``+`` beta ``=``180 DEG]이다. 따라서 프리즘의 정각 [eqn: alpha]는

[eqn: alpha ```=`` gamma ````+``` gamma ``']          (2)

이므로, 식(1)은

[eqn: delta ````=````i````+````i``'````-``` alpha]          (3)

가 된다.

한편, 프리즘의 굴절률 n은 Snell의 법칙에 의해서

[eqn: n````=```` {sin```i} over {sin````r} `=` {sin````i``'} over {sin````r`'}]          (4)

이므로, [eqn: i]와 [eqn: i`']을 식(4)에서 구하여 식(3)에 대입하면

[eqn: delta ````=````sin ^{-1} ```(n```sin```r)````+```sin ^{-1} ``｛n```sin``( alpha - gamma )｝`-` alpha]          (5)

로 된다. [eqn: delta]의 최솟값, 즉 최소 편각 [eqn: delta _{m}]은 [eqn: d` delta ``/``dr``=``0]을 만족하는 [eqn: r _{0}]값에서 이루어진다. 즉, [eqn: delta]가 최소가 될 때의 [eqn: i,```i``'`]값을 [eqn: i _{m} ``,``i _{m} `']이라고 하면,

[eqn: {d`` delta } over {d` alpha } □``=``0``=`` {n````cos``r _{0}} over {(1-n ^{2} ``sin ^{2} ``r _{0} ) ^{1/2}} ````-```` {n```cos``(1-`r _{0} )} over {｛1-``n ^{2} ``sin ^{2} ``( alpha ``-``r _{0} )｝ ^{1/2}}]          (6)

이 되고, 위의 식이 성립이 되려면 [eqn: r _{0} ```=``` alpha ```-r _{0}] 이어야 하므로 [eqn: r _{0} ````=```` alpha ``/``2]이고, 식(2)과 비교하면 [eqn: r _{0} ```=```r _{0} `'```=``` alpha ```/```2,`````i _{0} ```=```i _{0} ``'```=``` alpha ``/``2]이다. 위의 결과를 식(4)에서 구한 [eqn: i]와 [eqn: i`']에 대입하면,

[eqn: i _{m} ````=````i _{m} ``'``= {alpha ```+``` delta _{m}} over {2}]          (7)

가 된다. [eqn: r _{0} ````=`r _{0} ``'``= alpha ``/``2], [eqn: i _{0} ````=````i _{0} `'```=`` alpha ```/``2]라는 결과로부터, 굴절률 n은

[eqn: n````=````sin``( {alpha ```+``` delta _{m}} over {2} )````/````sin```( alpha ``/2)]          (8)

로 표현된다. 따라서 프리즘의 정각 [eqn: alpha]와 최소 편각 [eqn: delta _{m}]을 측정하면 그 파장의 빛에 대한 프리즘의 굴절률 n이 산출된다.

(3) 실험소요도구

품 번	품 명	규 격	소요량	비 고
42-1	프리즘 분광기	망원경 및 각도기 부착	1
42-2	삼각 프리즘	한 변이 3 cm 이상	2
42-3	기체방전관	Na, Ne, Hg	각 1
42-4	D.C. 고전압장치	기체방전관용	1
42-5	방전관 지지대	높이조절가능	1

(4) 실험방법

프리즘 분광계의 외관은 그림2에 보인 바와 같이 콜리메이터(C), 슬릿(S), 망원경(T), 접안렌즈(G), 망원경고정나사(S) 및 각도기 원판(D, V)로 구성되어 있다. 굴절률을 측정하고자 하는 프리즘(P)의 정각 및 최소 편각을 측정하기 위하여 다음과 같은 방법을 따라야 한다.

그림2. 프리즘 분광기의 외관

① 망원경을 평행광선에 맞추는 방법

그림3. 프리즘 분광계의 망원경 구조

망원경(T)은 그림3과 같이 통이 3개로 되어 있다. A통에는 대물렌즈 [eqn: L _{1}]이 고정되어 있고, B통에는 십자선 F가 들어 있으며, C통에는 [eqn: L _{2}], [eqn: L _{3}] 등 대안 렌즈계가 고정되어 있다. 우선 C통을 움직여서 십자선이 똑똑히 보이도록 조정하고 B와 C를 고정시킨다. 그런 다음 A통을 움직여 멀리 있는 물체가 명료하게 보이고 또한 십자선과의 시차가 없게 한다. 즉 눈을 조금씩 옆으로 움직여도 물체의 상과 십자선과의 사이에 상대적인 위치의 변화가 없게 하면 된다. 이렇게 되면 망원경이 무한원 즉 평행광선에 맞도록 조정된 것이다.

② 망원경과 콜리메이터(C)의 정렬방법

망원경의 회전고정나사 L을 풀어서 망원경이 자유롭게 움직일 수 있게 하고, 콜리메이터 C 앞에 있는 슬릿 S를 적당하게 연다. 망원경을 중심축에 대해서 회전시켜 콜리메이터와 일직선이 되게 한 다음 슬릿 앞에 단색광을 켠다.

그리고 망원경으로 슬릿을 통하여 들어오는 빛이 선명하게 보이도록 망원경의 위치를 조정한다. 일단, 슬릿의 상이 보이면 S의 폭을 될 수 있는 한 좁게 조절하고, 실험도중 변화시키지 말아야 한다.

③ 프리즘의 정각 측정방법

그림4와 같이 측정하려는 프리즘 P의 정각 [eqn: alpha]을 콜리메이터 C에 향하게 하고, C로부터 평행광선을 여기에 비출 때 프리즘의 왼쪽 면에서 반사된 광선을 망원경 [eqn: T _{1}]으로 관측하는데 슬릿 S의 상을 십자 선에 맞추었을 때 [eqn: T _{1}]의위치를 다이얼 D와 버니어 V를 통하여 그 값 ([eqn: D _{1}])을 기록한다. 다음에 망원경을 [eqn: T _{2}] 위치까지 돌려서 P의 오른쪽 면에서 반사되는 광선을 관측하고 그 때의 위치([eqn: D _{2}])를 기록한다. 프리즘의 정각 [eqn: alpha]의 양면에서 반사되는 각도 [eqn: beta]는 [eqn: LEFT | D _{2} ``-``D _{1} RIGHT |]이 되며, 정각 [eqn: alpha ``=`` beta ``/``2] 인 관계로부터 프리즘의 정각을 산출한다.

그림4. 프리즘의 정각측정

④ 최소 편각 측정방법

그림5(a)와 같이 콜리메이터 C, 프리즘 P, 망원경 T를 설치하고, 슬릿 S의 가장 밝은 상을 잡은 다음 프리즘 대를 좌우로 조금씩 회전시키면서 슬릿의 상이 움직이는 방향으로 망원경 T를 계속 이동시킨다. 이 때 프리즘 대를 같은 방향으로 돌려도 슬릿의 상이 어느 지점까지 갔다가 되돌아오는 점이 있는데, 바로 이 회기점을 정확하게 망원경의 십자 선에 맞추고 그 때의 위치 [eqn: D _{3}]을 기록한다. 다음에 그림5(b)와 같이 망원경과 프리즘을 오른쪽으로 회전시켜 회기점을 찾고, 정확하게 슬릿의 상을 망원경의 십자선 상에 맞추어 그 위치([eqn: D _{4}])를 기록한다. 이 때 두 회기점의 내각 ([eqn: D _{3} ``-``D _{4}])의 반이 최소 편각이 된다. 이상과 같이 구한 프리즘의 정각 [eqn: alpha]와 최소 편각 [eqn: delta _{m}]을 이용하여 프리즘의 굴절률을 산출할 수 있다.

그림5. 프리즘에 의한 최소 편각 측정

(5) 질문

1. 콜리메이터에서 프리즘으로 들어오는 광선이 평행해야 하는 이유는 무엇인가?

2. 회기점이 생기는 이유를 구체적으로 설명하라.

3. 만약 프리즘의 정각이 60°, 굴절률이 1.5인 경우 최소 편각은 얼마나 되겠는가?