양자역학 1 숙제

2018년 3월 28일 출제

2018년 4월 4일 10시 제출 마감

1. 질량 [eqn: m], 에너지 [eqn: E`(>0)]인 한 입자가 1차원에서 퍼텐셜 에너지

[eqn: V(x)`=` {cases{+ INF &;`x<0,`x>2a#0&;`0<x<a`(영역`I)#V _{0} `(>0)&;`a`<`x`<`2a`(영역`II)}}]

의 영향 속에 운동한다. 영역 I과 II에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 각각 [eqn: psi _{I} (x)`=`A`sin`kx`+`B`cos`kx], [eqn: psi _{II} (x)`=`C`sinqx`+`D`cos`qx]이다. [40점]

(a) [eqn: k]와 [eqn: q]를 [eqn: m], [eqn: E], [eqn: V _{0}], [eqn: hbar]로 나타내시오.

(b) [eqn: x=0]과 [eqn: x=2a]에서 파동함수는 연속이어야 한다. 이를 식으로 표현하시오.

(c) [eqn: x=a]에서 파동함수는 함수 자신과 함수의 1차 미분이 연속이어야 한다. 이를 식으로 표현하시오.

(d) (b)와 (c)로부터 [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D]를 [eqn: A]와 [eqn: k], [eqn: q]로 나타내시오.

2. [eqn: x=-a]와 [eqn: x=a]에 무한 장벽이 있고 그 사이에서 자유롭게 운동하는 입자의 상태함수가 [eqn: psi(x,`0)=` {cases{-N&;`-a<x<0#N&;`0<x<a}}]로 주어진다. [30점]

(a) 규격화 조건을 이용하여 양의 상수 [eqn: N]을 구하시오.

(b) 측정되는 에너지 값을 구하시오.

(c) 첫 번째 들뜬 상태 (첫 번째 기함수 고유함수)에 있을 확률을 구하시오.

3. 조화진동자의 [eqn: n] 번째 들뜬 상태 [eqn: psi _{n}]에 대해 다음을 구하시오. [30점]

힌트: [eqn: x]와 [eqn: p]를 [eqn: a]와 [eqn: a ^{dagger}]로 표현하고 [eqn: a`psi _{n} `=`sqrt{n}`psi _{n-1}], [eqn: a ^{dagger} `psi _{n} =sqrt{n+1}psi _{n+1}], 고유함수의 직교성 등을 이용.

(a) [eqn: left<`x`right>]와 [eqn: left<`x ^{2} `right>].

(b) [eqn: LEFT < `p` RIGHT >]와 [eqn: LEFT < `p ^{2} ` RIGHT >].

(c) [eqn: sigma _{x}]와 [eqn: sigma _{p}]를 구하여 조화진동자에서 불확정성 원리가 만족되는지 확인하시오.