양자역학 1 숙제

2018년 4월 15일 출제

2018년 4월 18일 퀴즈

1. 1차원 퍼텐셜이 [eqn: V(x)`=` {cases{INF &;`x<0#0&;`0` LEQ `x` LEQ `a#V _{0}&;`x`>`a}}]로 주어진다. 에너지가 [eqn: 0`left<`E``left<`V _{0}]이면 입자는 구속 상태이다.

(a) 영역 I ([eqn: 0`leq`x`leq`a])과 영역 II ([eqn: x`>`a])에서 파동함수의 일반해를 쓰시오.

(b) [eqn: x=a]에서 경계 조건을 쓰시오.

(c) 구속 상태의 고윳값 방정식이 [eqn: tan`{sqrt{2mEa}over{hbar}`=`]( )일 때 괄호 안의 함수를 구하시오.

2. 파동함수 [eqn: psi(x)`=`A`left(`{x}over{x _{0} }`right) ^{n} e ^{-x/x _{0}}]는 해밀토니안 연산자의 고유함수이다. ([eqn: x _{0}]과 [eqn: n]은 양의 실수.)

(a) 에너지 고유값을 구하시오.

(b) 퍼텐셜을 구하시오.

3. 조화진동 해밀토니안은 사다리 연산자 [eqn: a`=` {1} over {sqrt {2}} (x`+`ip)]와 [eqn: a ^{DAGGER } `=`{1}over{sqrt{2}}(x-ip)]를 이용하여 [eqn: H`=`a ^{dagger} `a`+`{1}over{2}]로 쓸 수 있다. ([eqn: hbar`omega] 등의 상수 생략.) 규격화되지 않은 한 고유 함수가 [eqn: psi _{a} (x)=(2x ^{3} -3x)`e ^{-x ^{2} /2}]일 때 [eqn: psi _{a}]에 인접한 고유상태의 고유함수 두 개를 구하시오. (사다리 연산자 관계식 [eqn: a`psi _{n} =sqrt{n}`psi _{n-1}], [eqn: a ^{dagger} `psi _{n} =sqrt{n+1}psi _{n+1}] 이용.)

4. 조화진동 퍼텐셜에서 한 입자의 상태함수가 [eqn: psi(x,0)=A`sum _{`n=0} ^{infty} `left({1}over{sqrt{2}}right) ^{n} `psi _{n} (x)]로 주어진다.

(a) 규격화 상수 [eqn: A]를 구하시오.

(b) [eqn: psi(x,`t)]를 구하시오.

(c ) [eqn: t=0]일 때 에너지 기댓값을 구하시오. (반드시 [eqn: hbar `omega]와 상수의 곱으로 표시.)

5. 질량 [eqn: m]인 입자가 [eqn: x=-infty]에서 1차원 퍼텐셜 [eqn: V(x)`=` {cases{V _{0}&;`x>0`(V _{0} >0)#0&;`x<0}}]을 향해 [eqn: +x]로 입사한다.

(a) [eqn: 0`<`E`<`V _{0}] 일 때 투과 계수를 구하시오..

(b) [eqn: E>V _{0}] 일 때 투과 계수와 반사 계수를 구하시오..

6. 질량 [eqn: m]인 입자가 [eqn: x=-infty]에서 1차원 퍼텐셜 [eqn: V(x)`=`gamma`delta(x)`(gamma`>`0)]을 향해 [eqn: +x]로 입사한다.

(a) [eqn: x<0]에서 파동방정식의 물리적 해를 쓰시오. (규격화 생략)

(b) [eqn: x>0]에서 파동방정식의 물리적 해를 쓰시오.

(c) (a)와 (b)에서 구한 해를 이용하여 [eqn: x=0] 근처에서 슈뢰딩거 방정식을 구하시오.

(d) 투과 계수와 반사 계수를 구하시오.