역학 1 기말시험 대비 연습문제

2018년 1학기

5장 만유인력법칙

1. 그림과 같이 질량이 같은 세 물체가 한 변의 길이가 [eqn: l]인 정사각형의 꼭지점에 놓여 가만히 있다. 꼭지점 [eqn: O]에서 질량 [eqn: M]인 입자가 받는 중력의 크기와 방향을 구하시오.

2. 질량 [eqn: M], 반지름 [eqn: a]인 얇고 균일한 원판이 원점을 원의 중심으로 하여 [eqn: xy] 평면에 놓여 있다. [eqn: z] 축 위의 한 점에서 다음을 구하시오.

(a) 중력 퍼텐셜.

(b) 질량 [eqn: m]인 입자에 작용하는 중력.

3. 밀도 [eqn: rho _{1}], 반지름 [eqn: R _{1}]인 구형의 행성이 [eqn: R _{1} <r<R _{2}]에서 밀도 [eqn: rho _{2}]인 구름에 덮여 있다. 교과서 (예제 5.1)의 결과를 이용하여 다음 각 영역에서 중력 퍼텐셜을 구하시오.

(a) [eqn: r`<`R _{1}].   (b) [eqn: R _{1} <r<R _{2}].   (c) [eqn: r`>`R _{2}].

4. 그림과 같이 질량이 [eqn: M]으로 동일한 쌍성이 질량 중심 (원의 중심)에 대해 공전한다. 각 별의 속력이 [eqn: v`(=`|`vec{v}|)]로 같고 주기가 [eqn: T]일 때 별의 질량을 [eqn: G], [eqn: v], [eqn: T]로 나타내시오.

5. 그림과 같이 반경이 [eqn: R]이고 질량이 [eqn: M]인 밀도가 균일한 구에서 반경이 [eqn: {R}over{2}]인 구를 제거하였을 때 물체 [eqn: m]에 작용하는 힘을 반경 [eqn: R], 질량 [eqn: M]과 [eqn: m], 거리 [eqn: d]를 이용하여 구하시오.

6. 케플러의 제 3법칙 [eqn: T ^{2} =K`r ^{3}]으로부터 행성과 태양 사이에 작용하는 인력이 [eqn: F PROPTO {m} over {r ^{2}}]임을 보이시오.

7. 그림과 같이 질량 [eqn: M], 반지름 [eqn: R]이며 균일한 질량 분포를 갖는 지구에 중심을 관통하는 터널을 지구의 자전축을 따라 건설하였다고 가정한다. 터널 입구에 질량이 같은 두 공 A, B가 있다. 공의 질량은 각각 [eqn: m]이다. 공 A는 정지 상태에서 자유낙하운동을 시작하고, 동시에 공 B는 지구 표면 근처에서 인공위성처럼 일정한 속력 [eqn: v]로 원운동을 한다. 여기서 공기의 저항과 지구표면에서 공 B까지의 높이는 무시한다. 반지름 [eqn: R]이며 밀도가 [eqn: rho]로 균일한 구 내부에서 구의 중심으로부터 거리 [eqn: r] 떨어진 한 점 P의 중력 퍼텐셜은 [eqn: PHI (r)`=`-`4` pi `G` rho `left( {R ^{2}} over {2} `-` {r ^{2}} over {6} `right)]로 주어진다. A와 B의 진동 주기의 비 [eqn: T _{{rm`A}} :`T _{{rm`B}}]를 구하시오.

8. 그림과 같이 직선 위에 막대와 점입자가 놓여 있다.

[eqn: x]

[eqn: m]

[eqn: M]

[eqn: 0]

[eqn: x]

[eqn: -L]

(a) 점입자의 위치를 [eqn: x]라 할 때 막대로부터 받는 중력에 의한 중력 위치에너지를 [eqn: x]의 함수로 구하시오.

(b) 점입자의 위치에 작용하는 중력가속도(벡터 중력장)을 구하시오.

7장 라그랑지 역학

1. 질량 과 인 두 물체가 용수철 상수 인 용수철의 양 끝에 연결되어 직선 위에서 진동하고 있다. 질량 과 인 물체가 각각 평형 상태로부터 변위 , 의 위치에 있을 때, 이 물리계의라그랑지안은  으로 주어진다. 변위 와 가 만족하는 운동방정식을 구하시오.

2. 그림과 같이 질량 [eqn: m _{1}]인 물체와 질량 [eqn: m _{2}]인 물체가 일정한 길이 [eqn: l]인 줄로 원점 [eqn: O]에 있는 작은 구멍을 통하여 연결되어 운동하고 있다. 질량 [eqn: m _{1}]인 물체는 수평면에서 운동하고 질량 [eqn: m _{2}]인 물체는 아래 방향으로 일정한 중력 가속도 [eqn: g]를 받으며 수직 방향으로 운동한다. 수평면에서 수직 위 방향을 [eqn: z] 축으로 한다.

(a) 두 물체계의 라그랑지안 [eqn: L(r,`theta,`dot{r},`dot{theta})]을 구하시오.

(b) 라그랑지 방정식을 구하시오.

3. 그림과 같이 질량이 [eqn: m]인 물체가 움직도르래와 고정도르래에 의해 연결되어 있다. 움직도르래에는 용수철 상수가 [eqn: k]인 용수철이 연결되어 있다. 물체가 바닥으로부터 높이 [eqn: h _{0}]를 중심으로 상하 방향으로 단진동한다.

(a) 물체의 라그랑지안을 구하시오.

(b) 운동방정식을 구하시오.

(c) 각진동수를 구하시오.

4. 그림에서 용수철이 늘어나지 않을 때의 길이는 [eqn: x _{0}]이다. 두 물체계의 라그랑지안을 구하시오.

5. 어느 계의 라그랑지안이 [eqn: L`=`a` {dot{q} _{```1} ^{```2}}} `+`F(q _{1} )` {dot{q } _{2} ^{```2}}} `-`b`q _{1} ^{2}]로 표현된다. [eqn: q_1]과 [eqn: q_2]의 라그랑지 방정식을 구하시오.

6. 질량 [eqn: m]인 입자가 [eqn: y=b x^2]로 주어지는 포물선에서 운동하도록 구속되어 있다. [eqn: b]는 양의 상수이고 [eqn: -y]방향으로 균일한 중력이 작용한다.

(a) 구속 조건을 포함하는 입자의 라그랑지안을 구하시오.

(b) [eqn: x]의 라그랑지 방정식을 구하시오.

7. 그림은 [eqn: xy] 수평면에서 질량 [eqn: m]인 입자가 용수철의 한쪽 끝에 연결되어 원점 O를 중심으로 회전운동하는 것은 나타낸 것이다. 용수철이 원래 길이가 [eqn: a]일 때 입자의 라그랑지안을 구하시오.

8. 그림에서 [eqn: x_0]은 용수철의 원래 길이다. 입자의 라그랑지안 [eqn: L(x, theta ,`dot{x},`dot{theta})]를 구하시오.

9. 그림 (가)는 원반에 감긴 끈의 끝에 용수철 상수 [eqn: k]인 용수철을 연결하여 천장에 매단 것을 나타낸 것이다. 이 때 용수철은 늘어나지도 줄어들지도 않은 상태이고 원반은 정지해 있다. 그림 (나)는 시간 [eqn: t=0]에서 원반을 가만히 놓아 끈이 풀리면서 용수철과 원반이 운동하는 모습을 나타낸 것이다. 원반의 질량은 [eqn: m], 반지름은 [eqn: R]이고 원반의 중심 O와 용수철은 연직 방향으로만 움직인다. 용수철의 변위 [eqn: x], 원반의 변위 [eqn: y], 원반의 각변위 [eqn: theta]는 [eqn: y`=`x`+`R`theta`+`y _{0}]의 관계를 만족한다. 이 계의 라그랑지안을 쓰시오.

(가)                 (나)

10. 그림 (가)는 질량 [eqn: m], 반지름 [eqn: R]인 균일한 두 원판이 용수철 상수가 [eqn: k]로 동일한 세 용수철에 수평으로 연결되어 수평면에서 평형 상태에 있는 모습을 나타낸 것이다. 그림 (나)는 두 원판이 평형 상태로부터 각각의 변위 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]만큼 이동한 모습을 나타낸 것이다. 원판이 수평면에서 미끄러짐 없이 구르며 운동할 때, 이 계의 라그랑지안을 구하시오.

(가)

(나)

11. 그림과 같이 지면에 고정되고 반지름이 [eqn: R]인 사분원 궤도의 최고점 ([eqn: theta=0])에 정지해 있던 질량 [eqn: m], 반지름 [eqn: r]인 원반이 사분원 궤도를 따라 미끄러짐 없이 굴러 내려온다. [eqn: theta]와 [eqn: phi]는 각각 사분원 궤도와 원반에서의 각변위이다. 원반의 운동에 대한 구속 조건은 [eqn: (R-r)`dot{theta}`=`r`dot{theta}]이다. [eqn: theta=0]을 중력 퍼텐셜 에너지가 0인 기준으로 할 때 원반의 라그랑지안을 구하시오.

12. 질량 [eqn: M]인 두 벽돌이 도르래에 걸쳐져 있는 길이 [eqn: L]인 가벼운 줄로 연결되어 있다. 한 벽돌은 수평면에서 운동하고 다른 벽돌은 균일한 중력장(중력가속도 [eqn: g]) 속에서 줄에 매달려 수직으로 운동한다. 그림에 표시된 좌표 [eqn: x]와 [eqn: y]를 이용하여 물음에 답하시오. (구속 조건식은 [eqn: x+y=L]이다.)

[eqn: 0]

[eqn: y]

[eqn: x]

(a) 구속 조건을 반영하기 이전의 라그랑지안을 쓰시오.

(b) 라그랑지 곱수 [eqn: lambda]를 이용하여 [eqn: x]와 [eqn: y]라그랑지 방정식을 구하시오.

(c) 라그랑지 곱수 [eqn: lambda]를 구하시오.

13. 질량을 무시할 수 있는 길이 [eqn: a]인 막대에 질량이 [eqn: m _{1}]과 [eqn: m _{2}]인 점입자들이 그림과 같이 연결되어 있다. 수직 아래 방향으로 일정한 중력이 작용하며 입자들은 고정축 [eqn: A]에 대해 일정한 각속도 [eqn: Omega]로 회전한다. 계의 라그랑지안을 구하시오.

[eqn: A]

[eqn: a]

[eqn: m _{1}]

[eqn: m _{1}]

[eqn: m _{2}]

[eqn: m _{2}]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: g]

[eqn: Omega]

[eqn: theta]

14. 길이 [eqn: l], 추의 질량 [eqn: m]인 단진자가 한 고정점에 대해 단진동한다. 아래 방향으로 중력가속도 [eqn: g]가 일정하며 고정점이 위 방향으로 일정한 가속도 [eqn: a]로 상승한다.

(a) 입자의 라그랑지안을 구하시오.

(b) 미소 진동의 각 진동수를 구하시오.

15. 1차원 퍼텐셜이 [eqn: U(x)`=`{1}over{2}k`x ^{2} `+`{1}over{4}`b`x ^{4}]와 같이 주어질 때 계의 해밀토니안과 해밀턴 운동방정식을 구하시오.

16. 질량 [eqn: m]인 입자가 한 평면에서 [eqn: U(r)`=`-`k/r]로 주어지는 위치에너지를 가진다. 2차원 극좌표 [eqn: r], [eqn: theta]를 이용하여 다음을 쓰시오.

(a) 해밀토니안

(b) 해밀턴 방정식